代数几何方向部分介绍

(https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/5ab5c9ea15ce36d35c207fda3df33a87e950b130?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto),这是我在清华2019年秋季学期代数几何1的笔记,详情请见这门课的授课老师EduardLooijenga的主页:HomepageEduardLooijenga.这门课中k**始终代表代数闭域!****定理.(希尔伯特零点定理)**有限生成k代数的A的大根记为所有极大理想的交,对于任意极大理想m,A/m\\simeqk,且大根等于小根等于幂零根.这是修改版.一.仿射簇范畴基本的代数几何知识告诉我们,\\mathbbA^n中的闭集范畴(态射是正则映射)与既约有限生成k代数范畴(态射是k代数同态)等价.通常而言前者被称为仿射簇,但这样不太好.现在对于每个有限生成既约k代数,我们来造一个层,并且得到另外范畴,我们证明这三个范畴都是等价的.**定义.**设是A一个有限生成既约k代数,则用Spm(A)表示A的所有的极大理想的集合.在上面赋予Zariski拓扑,即令所有形如Z(I)=\\\\U是kU在L中的整闭包.并且这样的映射和Y^L在同构意义下唯一.注意这个定理的证明要用到簇的可分性,仿射开集的交还是仿射开集.下面命题是代数数论中命题的一个推广:**命题.**假设A是正规整环,L/Frac(A)是有限正规扩张,可以定义L/Frac(A)的伽罗瓦群为G即使这并非伽罗瓦扩张,则A的整闭包\\barA^L在G的作用下不变,且任意给定A中的素理想p,G可迁的作用在\\barA^L中在p上的素理想.,第1页数学分支之代数几何几何空间空间的概念复我们来说是熟悉的。

例如获得沃尔夫奖的陈省身与丘成桐两位先生最重要的工作就与代数几何密切相关:陈(省身)示性类被深刻地推广与运用到代数几何中,而著名的卡拉比-丘(成桐)流形则是目前代数几何中最热门的研究对象之。

因为我忘了很多了。

关于代数簇,我们是取自于Serre5和Mumford4,即代数簇是一个环层空间,它局部同构于一个代数闭域上的仿射代数簇。

在这个课程中我们都是考虑代数闭域上的不可约代数簇。

同时,作为一门理论学科,代数几何的应用前景也开始受到人们的注意,其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。

因意大利数学家法诺而得名,他在1903年即开始研究这种在四维射影空间P4(4)内由一般三次方程定义的一类三维代数簇。

他把意大利代数几何严密化、抽象化、近代化,还得出一系列的推广与独创。

A_k^n中元素称为点,用P=(a_1,a_2,…a_n)表示,a_i\\ink,并且我们把a_i称为P的坐标设kx_1,…,x_n为域k上的n个未知数的多项式环R则R中的元素f(x_1,x_2,…,x_n)可以看成是A_k^n->k的映射,定义为f(x_1,x_2,…x_n)(P):=f(a_1,a_2,…,a_n)因此,如果f\\inR,我们定义fZ(f):=\\\\)证明:根据定义不难看出其成立综上,我们证明了所有命题。

而这种情况出现的时候,两条圆锥曲线都处于一个一般的位置上。

韦依采用的是间接迂回的战术。

还包括前面一章群的上同调。

在假定具有一定的交换代数背景之下,我们都给一个完整的证明。

Grothendick是法国数学家,Bourbaki成员,1928年生于德国柏林,由于第二次世界大战,致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。

图4黎曼黎曼首次发现了亏格这一现代几何的基本概念(对应了几何对象上洞的个数),并提出了代数几何中最基本的双有理变换的思想。

作者在超星学术视频网站上有本书配套讲课录像。

年代中期,法国数学家J.P.塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上,并建立了凝聚层的上同调理论,这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。

中文名:代数几何作者:(美国)RobinHartshorne译者:冯克勤图书分类:教育/科技资源格式:PDF版本:扫描版出版社:科学出版社书号:7030029704发行时间:2004年地区:大陆语言:简体中文简介:内容简介:本书使用概型和上同调方法讲述抽象代数几何学,主要研究对象是代数闭域上仿射空间或射影空间中的代数簇.在第一章中给出一些基本概念和例子,然后在第二章和第三章中讨论概型和上同调方法.我们不打算过分地追求一般化,而是着重于方法的应用.本书最后两章(第四章与第五章)运用这些方法研究代数曲线和曲面的经典理论中的课题.对于代数几何的这种讲法,所需要的预备知识是交换代数的结果与某些初等拓扑学的知识.关于交换代数我们只叙述那些需要用到的结果,而不需要复分析或微分几何的知识.全书共有400多个习题,它们不仅提供了许多特殊的例子,而且也介绍了正文中未涉及的一些更专门的课题.书后三个附录简要地介绍了当前的一些研究领域.本书可作为代数几何基础课程的教材在研究生的抽象代数基础课之后讲授.我最近在伯克利用五个学期教过这些内容,基本上每学期讲一章.第一章也可作为一个短课单独地讲授.另一种值得考虑的教学方法是:讲完第一章之后立即讲第四章,只需要知道第二章和第三章的少数定义,并且承认关于曲线的RiemannRoch定理即可.这使我们可很快学到有趣的材料,而且回过头来再认真学习第二章和第三章的时候,有了更多的直观背景.读过本书所涉及的材料之后,就可以进一步去读更高深的著作,如GrothendieckEGA,SGA,Hartshorne5,Mumford2,5或Shafarevich1.在写这本书的过程中,我试图介绍对于代数几何基础课程来说是最本质的那些材料.我希望能使外行人容易理解数学的这一领域,它的结果至今还分散在各处,只是用未发表的民间传说将这些材料连接起来.我重新组织了这些材料并改写了证明,于是这本书大体成了我从我的老师、同事和学生那里学来的知识的综合体,他们对我的帮助太多以至我无法一一列举.我要特别感谢OscarZariski,J.—P.Serre,DavidMumford和ArthurOgus的支持和鼓励.本书中的经典材料需要历史学家来追寻它们的起源.除此之外的材料,我要特别感谢A.Grothendieck.他的巨著EGA是概型和上同调理论的权威性参考文献.在整个第二章和第三章中,对于他的结果均没有作特别声明.至于其他的结果,只要我知道,都设法注明所讲材料的来源.在写本书的过程中,我曾将初稿寄给许多人,并从他们那里得到了有价值的评论意见.在这里我向他们表示谢意,特别要感谢J.P.Serre,H.Matsumura和JoeLipman,他们仔细阅读书稿并提出了详细的建议.我在哈佛和伯克利教过这些材料,我感谢参加听课并提出富有启发性问题的那些研究生.我还要感谢RichardBassein,他将他那数学家和艺术家的才能融为一体,为本书绘制了插图.几句话是不能表达出我对妻子EdieChurchillHartshorne的谢意.当我埋头写书的时候,她为我和我们的儿子Jonathan和Benjamin创造了温暖的家庭,她那永恒的支持和友谊使我的生活更富有人情味.我感谢日本京都大学数学研究院、美国国家科学基金会和加州大学伯克利分校,在我准备本书期间,他们提供了经济资助.R.哈茨霍恩1977年8月29日加里福尼亚州,伯克利内容截图:欢迎大家重新加入我的小组——数学及计算机爱好者之家http://www.VeryCD.com/groups/@g2387585/今后,部分书籍会发布在我的小组。

当年曾经很认真地想要考虑做这方面的项目,所以这篇文章也算是怀念我逝去的青春。

主要内容包括向量代数,直线与平面,常见曲面,二次曲线和二次曲面,正交变换和仿射变换,平面射影几何简介,球面几何与双曲几何初步的专题讨论以及各章小结等。

H.嘉当还进一步给出了环层空间(ringedspaces)的定义,它的作用是将简单的空间粘贴在一起。

当然,代数簇不一定是微分流形,因为它可以包含奇点。

通过genus,Riemann有提出了Moduli(模空间)的概念,现在这个东西可是大热门,并且和他的学生Roch(罗赫)得出了代数几何学中的一条中心定理——Riemann-Roch定理(l黎曼-赫定理),此定理是说:设X为亏格g的曲线,D为X上的除子则有:L(D)—L(K—D)=degD+1—g,K是一典范除子,以后对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步,非常深刻的Atiyah-Singer指标定理(阿蒂亚-辛格指标定理)是Riemann-Roch定理的颠峰,Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何,拓扑,分析,偏微分方程,多复变函数论等好几个核心数学领域,并且在物理学中Yang-Mills场论(杨-米尔斯场论)中得到了重要的应用,但是,指标定理的根基还是在代数几何里面。

韦依研究代数几何的动机主要是来源于数论——他很早就想证明著名的黎曼猜想。

强烈推荐一本Iversen的cohomologyofsheaves非常强悍的工具,其他书里很多大定理可以象切豆腐一样搞定。

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